[GUIDE] UVa OJ - 375 - Inscribed Circles and Isosceles Triangles
শুরুতেই এই প্রব্লেমটা সহজ ভাষায় ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করি ।
Figure : 1 খেয়াল করো । একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি b এবং উচ্চতা h দেওয়া আছে । প্রথমে এর তিনটি কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে হবে । সমত্রিখণ্ডক তিনটির ছেদবিন্দু (চিত্রে O বিন্দু)-কে কেন্দ্র করে এমন একটি বৃত্ত আঁকতে হবে যেটি ত্রিভুজের ৩টি বাহুকে স্পর্শ করে । তারপর আরও একটি বৃত্ত (এই রঙের) আঁকতে হবে যেটি ত্রিভুজের সমান দুই বাহু (চিত্রে AB এবং AC) কে এবং তার নিচের বৃত্তকেও (এই রঙের) স্পর্শ করে । এর উপরের বৃত্তগুলোও এভাবে এঁকে যেতে হবে । কিন্তু এভাবে তো অসীম সংখ্যক বার যাওয়া যাবে; তাহলে থামবো কোথায় ?
এই প্রশ্নের উত্তর মূল স্টেটমেন্টেই দেওয়া আছে । এই যে বৃত্তের একটা Stack তৈরি হচ্ছে, যে বৃত্তের ব্যাসার্ধ 0.000001 এর চেয়ে ছোট হয়ে যাবে, তখনই আমাদের থেমে যেতে হবে !
প্রব্লেমের আউটপুটে দিতে হবে Stack এর সবগুলো বৃত্তের পরিধির যোগফল । তো, বৃত্তের পরিধি হিসেব করতে হলে আমাদের কী জানতে হবে ? অবশ্যই বৃত্তের ব্যাসার্ধ । কীভাবে আমরা এই বৃত্তগুলোর ব্যাসার্ধ বের করতে পারি ?
প্রথমে আমরা Figure : 1 এর ΔABC থেকে ΔABD কে আলাদা করে নিই । Figure : 2 খেয়াল করো । যেহেতু ΔABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, সেহেতু BAD কোণের সমদ্বিখণ্ডক রেখা AD বাহু ত্রিভুজের ভুমি BC কে D বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করবে । Figure : 2 থেকে আমরা θ এর মান পেলাম ।
এবার আমরা ΔABC থেকে ΔODC কে আলাদা করে নিই । Figure : 3 খেয়াল করো । শর্তমতে, OCD কোণ θ/2 এর সমান এবং OD বাহু বৃত্তের (এই রঙের) ব্যাসার্ধ । এই তথ্য থেকে আমরা বৃত্তের ব্যাসার্ধ r বের করে ফেললাম ।
এখন, 2 * PI * r এই সূত্র দিয়ে বৃত্তের পরিধি বের করতে পারি !
এবার আসি, পরবর্তি ধাপে । দ্বিতীয় বৃত্তের (এই রঙের) ব্যাসার্ধ বের করার আগে আরেক বার Figure : 1 খেয়াল করো । EF রেখাটি ΔABC কে ভাগ করে ΔAEF তৈরি করছে, যেটিও একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ! প্রথম বৃত্তটি (এই রঙের) ঠিক যেভাবে ΔABC কে স্পর্শ করেছিলো, দ্বিতীয় বৃত্তটিও (এই রঙের) ঠিক একইভাবে ΔAEF কে স্পর্শ করেছে । তাহলে এই বৃত্তের ব্যাসার্ধের হিসেবও আগের মতোই করতে হবে । কিন্তু এই বৃত্তে b এবং h এর মান তো পরিবর্তিত হয়ে গিয়েছে । তাহলে নতুন বৃত্তের ব্যাসার্ধ বের করার আগে পরিবর্তিত b এবং h এর মান বের করে নিতে হবে ।
পরিবর্তিত h এর নাম দিলাম h' । Figure : 4 খেয়াল করো কীভাবে h' এর মান বের করেছি । একদম প্রথম বৃত্তটিকে বের করে নিলাম AD বাহু সহ । তাহলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি OD = r হয়, তবে এই বৃত্তের ব্যাস অবশ্যই GD = 2r হবে । সম্পূর্ণ AD থেকে GD বাদ দিলেই তো আমরা h' পেয়ে যাচ্ছি ।
এবার আমাদের সর্বশেষ কাজ হলো পরিবর্তিত b তথা b' এর মান বের করা ।
Figure : 5 খেয়াল করো । Figure : 1 থেকে ΔABD এবং ΔAEG কে আলাদা করে নিলাম । ত্রিভুজ দুটি একই না হলেও এরা কিন্তু সদৃশ ত্রিভুজ । সদৃশ ত্রিভুজের সদৃশ বাহুগুলোর অনুপাত পরস্পর সমান হয় । তার অর্থ হলো, EG : BD = AG : AD । এখান থেকে আমরা b' এর মানও পেয়ে যাই ।
তাহলে আমরা এই b' এবং h' এর মান Figure : 3 এ ব্যবহৃত সূত্রে বসিয়ে দ্বিতীয় বৃত্তটির (এই রঙের) ব্যাসার্ধ বের করতে পারবো ।
এরপর আবার এই বৃত্তের পরিধি বের করে আগের পরিধির সাথে যোগ করতে হবে । বৃত্তের ব্যাসার্ধ বের করার প্রক্রিয়া আমাদেরকে ততোক্ষণ পর্যন্ত চালিয়ে যেতে হবে যতোক্ষণ না পর্যন্ত 0.000001 এর চেয়ে ছোট ব্যাসার্ধের বৃত্ত আমরা পাচ্ছি ।
এখানে আমার সলুশানের সোর্স কোড দিলাম ।
Figure : 1 খেয়াল করো । একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি b এবং উচ্চতা h দেওয়া আছে । প্রথমে এর তিনটি কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে হবে । সমত্রিখণ্ডক তিনটির ছেদবিন্দু (চিত্রে O বিন্দু)-কে কেন্দ্র করে এমন একটি বৃত্ত আঁকতে হবে যেটি ত্রিভুজের ৩টি বাহুকে স্পর্শ করে । তারপর আরও একটি বৃত্ত (এই রঙের) আঁকতে হবে যেটি ত্রিভুজের সমান দুই বাহু (চিত্রে AB এবং AC) কে এবং তার নিচের বৃত্তকেও (এই রঙের) স্পর্শ করে । এর উপরের বৃত্তগুলোও এভাবে এঁকে যেতে হবে । কিন্তু এভাবে তো অসীম সংখ্যক বার যাওয়া যাবে; তাহলে থামবো কোথায় ?
এই প্রশ্নের উত্তর মূল স্টেটমেন্টেই দেওয়া আছে । এই যে বৃত্তের একটা Stack তৈরি হচ্ছে, যে বৃত্তের ব্যাসার্ধ 0.000001 এর চেয়ে ছোট হয়ে যাবে, তখনই আমাদের থেমে যেতে হবে !
প্রব্লেমের আউটপুটে দিতে হবে Stack এর সবগুলো বৃত্তের পরিধির যোগফল । তো, বৃত্তের পরিধি হিসেব করতে হলে আমাদের কী জানতে হবে ? অবশ্যই বৃত্তের ব্যাসার্ধ । কীভাবে আমরা এই বৃত্তগুলোর ব্যাসার্ধ বের করতে পারি ?
প্রথমে আমরা Figure : 1 এর ΔABC থেকে ΔABD কে আলাদা করে নিই । Figure : 2 খেয়াল করো । যেহেতু ΔABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, সেহেতু BAD কোণের সমদ্বিখণ্ডক রেখা AD বাহু ত্রিভুজের ভুমি BC কে D বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করবে । Figure : 2 থেকে আমরা θ এর মান পেলাম ।
এবার আমরা ΔABC থেকে ΔODC কে আলাদা করে নিই । Figure : 3 খেয়াল করো । শর্তমতে, OCD কোণ θ/2 এর সমান এবং OD বাহু বৃত্তের (এই রঙের) ব্যাসার্ধ । এই তথ্য থেকে আমরা বৃত্তের ব্যাসার্ধ r বের করে ফেললাম ।
এখন, 2 * PI * r এই সূত্র দিয়ে বৃত্তের পরিধি বের করতে পারি !
এবার আসি, পরবর্তি ধাপে । দ্বিতীয় বৃত্তের (এই রঙের) ব্যাসার্ধ বের করার আগে আরেক বার Figure : 1 খেয়াল করো । EF রেখাটি ΔABC কে ভাগ করে ΔAEF তৈরি করছে, যেটিও একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ! প্রথম বৃত্তটি (এই রঙের) ঠিক যেভাবে ΔABC কে স্পর্শ করেছিলো, দ্বিতীয় বৃত্তটিও (এই রঙের) ঠিক একইভাবে ΔAEF কে স্পর্শ করেছে । তাহলে এই বৃত্তের ব্যাসার্ধের হিসেবও আগের মতোই করতে হবে । কিন্তু এই বৃত্তে b এবং h এর মান তো পরিবর্তিত হয়ে গিয়েছে । তাহলে নতুন বৃত্তের ব্যাসার্ধ বের করার আগে পরিবর্তিত b এবং h এর মান বের করে নিতে হবে ।
পরিবর্তিত h এর নাম দিলাম h' । Figure : 4 খেয়াল করো কীভাবে h' এর মান বের করেছি । একদম প্রথম বৃত্তটিকে বের করে নিলাম AD বাহু সহ । তাহলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি OD = r হয়, তবে এই বৃত্তের ব্যাস অবশ্যই GD = 2r হবে । সম্পূর্ণ AD থেকে GD বাদ দিলেই তো আমরা h' পেয়ে যাচ্ছি ।
এবার আমাদের সর্বশেষ কাজ হলো পরিবর্তিত b তথা b' এর মান বের করা ।
Figure : 5 খেয়াল করো । Figure : 1 থেকে ΔABD এবং ΔAEG কে আলাদা করে নিলাম । ত্রিভুজ দুটি একই না হলেও এরা কিন্তু সদৃশ ত্রিভুজ । সদৃশ ত্রিভুজের সদৃশ বাহুগুলোর অনুপাত পরস্পর সমান হয় । তার অর্থ হলো, EG : BD = AG : AD । এখান থেকে আমরা b' এর মানও পেয়ে যাই ।
তাহলে আমরা এই b' এবং h' এর মান Figure : 3 এ ব্যবহৃত সূত্রে বসিয়ে দ্বিতীয় বৃত্তটির (এই রঙের) ব্যাসার্ধ বের করতে পারবো ।
এরপর আবার এই বৃত্তের পরিধি বের করে আগের পরিধির সাথে যোগ করতে হবে । বৃত্তের ব্যাসার্ধ বের করার প্রক্রিয়া আমাদেরকে ততোক্ষণ পর্যন্ত চালিয়ে যেতে হবে যতোক্ষণ না পর্যন্ত 0.000001 এর চেয়ে ছোট ব্যাসার্ধের বৃত্ত আমরা পাচ্ছি ।
এখানে আমার সলুশানের সোর্স কোড দিলাম ।
Comments
Post a Comment